1 振动#

牛顿第二定律#

F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2}

简谐振动微分方程#

\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0

这里核心是利用两个F=ma（一般是平衡位置+一般情况）构建出形似的微分方程，即可得到ω^2对应的值，这也说明A和φ是初始条件，ω由系统性质决定。

三特征量#

x = A\cos(\omega t + \varphi_0)

v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi_0)

a = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0)

振幅和初相位的求解#

A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}

\tan \varphi_0 = -\frac{v_0}{\omega x_0}

$x_0, v_0$ ：初始位移和速度

旋转矢量法的时间间隔公式#

\Delta t = \frac{\Delta \varphi}{\omega}

$\Delta \varphi$ ：相位差

能量#

E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \varphi_0)

E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \varphi_0)

E_{总} = \frac{1}{2} k A^2

弹簧#

k=mω^2

单摆#

\begin{gathered} ω^2=\frac{g}{l} \\ θ=θ_0cos(ωt+φ_0) \\ 小角度近似\sin\theta \approx \theta \end{gathered}

势能和动能相等时刻#

t = \frac{\pi (4n+1) - 4\varphi_0}{4\omega}

$n$ ：整数

同向同频简谐振动合成振幅#

A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_{20}-\varphi_{10})}

合成初相#

\tan \varphi_0 = \frac{A_1\sin\varphi_{10} + A_2\sin\varphi_{20}}{A_1\cos\varphi_{10} + A_2\cos\varphi_{20}}

相位差为 $\pm 2 n\pi$ 振幅最大，为 $\pm (2 n+1)\pi$ 最小,这里可以参考旋转矢量法解题。

复摆角频率#

\omega = \sqrt{\frac{mgl_C}{J}}

$l_C$ ：质心到转轴距离， $J$ ：转动惯量

匀质复摆#

\omega = \sqrt{\frac{3g}{2l}}

2 波动#

波动方程（正向传播）#

y(x, t) = A\cos[\omega t - kx + \varphi_0]

y(x, t) = A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \varphi_0\right]

k = \frac{\omega}{u} = \frac{2\pi}{\lambda}

λ=uT

\Delta \varphi = k\Delta x(驻波也适用)

波动能量#

介质元总能量#

dE = ρdVv^2=ρdVA^2ω^2sin^2(wt-kx)

dE_k=dE_p=\frac{dE}{2}

能量密度#

ω(x,t)=ρv^2=ρA^2ω^2sin^2(w(t-\frac{x}{u}))

平均能量密度#

\bar{ω}=\frac{1}{2}ρA^2ω^2

能流#

P=ωuS

能流密度I（波的强度,如声音的响度，光的亮度）#

I =\bar{ω}u

干涉#

相干波条件#

频率相同
振动方向有平行分量
相位差恒定

干涉振幅合成#

A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi

\Delta\varphi = \varphi_{01} - \varphi_{02} - \frac{2\pi}{\lambda}(r_1 - r_2)=\begin{cases} 2kπ,k\in Z,增强\\ (2k+1)π,k\in Z ,减弱 \end{cases}

反射波求法#

设入射波为：

y_{入}=Acos(ω(t-\frac{x}{u})+φ)

固定端反射波：

y_反=Acos(ω(t+\frac{x}{u})+φ+π)（此处存在半波损失）

自由端反射波：

y_反=Acos(ω(t+\frac{x}{u})+φ-2kL)

驻波方程（两相反方向同振幅）#

设两列简谐波：

沿 +x 方向传播的入射波 $y1=Acos[ω(t-\frac{x}{u})+φ_1]$
沿 -x 方向传播的反射波 $y2=Acos[ω(t+\frac{x}{u})+φ2]$
驻波 = 两波叠加 y=y1+y2

利用三角恒等变换： $cosA+cosB=2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})$ 最终得到驻波方程：

$y=2Acos(kx−\frac{φ_1-φ_2}{2})cos(ωt+\frac{φ_1+φ_2}{2})$

波腹位置#

令 $(kx-\frac{φ_1-φ_2}{2})=\pm nπ$

x = \pm n\frac{\lambda}{2}

波节位置#

令 $(kx-\frac{φ_1-φ_2}{2})=\pm (n+\frac{1}{2})π$

x = (\pm 2n+1)\frac{\lambda}{4}

驻波特点#

相邻两波节之间质元同相，一波节两侧质元反相，质元之间无相位传递。驻波无波形推动，无相位传递，无能量传播，本质是一种特殊的简谐振动。

驻波能量#

半波损失#

弦线振动的简正模式#

弦线上的横波波速由公式决定：

u=\sqrt{\frac{F}{\mu}}

其中F为弦线上的张力， $\mu为弦线单位长度质量$

半波损失的条件#

当由波密介质传递到波疏介质时（自由端）相位不突变，入射波与反射波同相，驻波波腹。
当由波疏介质传递到波密介质时（固定端）相位突变π，入射波与反射波反相，驻波波节。

多普勒效应#

求接受频率的思路是

v'=\frac{单位时间内波通过观察者的距离}{波长}

3 光波#

折射与全反射#

折射定律#

n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2

n = \frac{\sin\theta_{\text{入射角}}}{\sin\theta_{\text{折射角}}}

全反射临界角#

\sin C = \frac{1}{n}

波长变化#

v = f\lambda

v = \frac{c}{n}

\lambda' = \frac{\lambda}{n}

光程与光程差#

相位落后#

\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda'} r

光程#

L = n l

L = \sum_i n_i l_i = \int_A^B n\,dl

光程差#

\Delta L = n_2 l_2 - n_1 l_1

\Delta\varphi = \Delta\varphi_0 + \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L

重难点：遇到反射（光疏到光密）需加半波长（ $\lambda/2$ ）的光程差。

杨氏双缝干涉#

光程差#

\Delta L = \frac{d}{L}x

$d$ ：双缝间距， $L$ ：屏距， $x$ ：条纹位置

条纹间距#

\Delta x = \frac{L}{d}\lambda

明纹条件#

\Delta L = k\lambda

暗纹条件#

\Delta L = (2k-1)\frac{\lambda}{2}

薄膜干涉#

等倾干涉光程差#

\Delta L = 2d\sqrt{n_2^2 - n_1^2\sin^2 i} + \frac{\lambda}{2}

等厚干涉光程差#

\Delta L = 2nd + \frac{\lambda}{2}

条纹厚度差#

\Delta d = \frac{\lambda}{2n}

条纹间距#

\Delta l = \frac{\lambda}{2n\theta}

牛顿环#

明环半径#

r = \sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2}}

暗环半径#

r = \sqrt{kR\lambda}

$R$ ：玻璃球曲率半径

音乐

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Physics

1 振动#

牛顿第二定律#

简谐振动微分方程#

三特征量#

振幅和初相位的求解#

旋转矢量法的时间间隔公式#

能量#

弹簧#

单摆#

势能和动能相等时刻#

同向同频简谐振动合成振幅#

合成初相#

复摆角频率#

匀质复摆#

2 波动#

波动方程（正向传播）#

波动能量#

介质元总能量#

能量密度#

平均能量密度#

能流#

能流密度I（波的强度,如声音的响度，光的亮度）#

干涉#

相干波条件#

干涉振幅合成#

反射波求法#

驻波方程（两相反方向同振幅）#

波腹位置#

波节位置#

驻波特点#

驻波能量#

半波损失#

弦线振动的简正模式#

半波损失的条件#

多普勒效应#

3 光波#

折射与全反射#

折射定律#

全反射临界角#

波长变化#

光程与光程差#

相位落后#

光程#

光程差#

杨氏双缝干涉#

光程差#

条纹间距#

明纹条件#

暗纹条件#

薄膜干涉#

等倾干涉光程差#

等厚干涉光程差#

条纹厚度差#

条纹间距#

牛顿环#

明环半径#

暗环半径#

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